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<!DOCTYPE html>

<title>Standardbasis</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Standardbasis</h1>

</header>

</div>

Als Standardbasis, natürliche Basis, Einheitsbasis oder kanonische Basis (von griech. κανονικός (kanonikós) „regelmäßig“) bezeichnet man im <a href="Mathematik" title="Mathematik">mathematischen</a> Teilgebiet der <a href="Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">linearen Algebra</a> eine spezielle <a href="Basis_(Vektorraum)" title="Basis (Vektorraum)">Basis</a>, die in gewissen <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorräumen</a> bereits aufgrund ihrer Konstruktion unter allen möglichen Basen ausgezeichnet ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Basis_allgemein">Basis allgemein</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Basis_(Vektorraum)" title="Basis (Vektorraum)">Basis (Vektorraum)</a></div>

Allgemein ist eine Basis eines Vektorraums eine <a href="Familie_(Mathematik)" title="Familie (Mathematik)">Familie</a> von Vektoren mit der Eigenschaft, dass sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche <a href="Linearkombination" title="Linearkombination">Linearkombination</a> dieser darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis. Ein Element der Basis heißt Basisvektor.

Jeder Vektorraum hat eine Basis, im Allgemeinen sogar zahlreiche Basen, unter denen jedoch keine ausgezeichnet ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele">Beispiele</h3></div>

<ul><li>Die <a href="Parallelverschiebung" title="Parallelverschiebung">Parallelverschiebungen</a> der Anschauungsebene bilden einen Vektorraum (siehe <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">Euklidischer Raum</a>) der <a href="Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">Dimension</a> zwei. Es ist jedoch keine Basis ausgezeichnet. Eine mögliche Basis bestünde etwa aus der „Verschiebung um eine Einheit nach rechts“ und der „Verschiebung um eine Einheit nach oben“. Hierbei sind „Einheit“, „rechts“ und „oben“ aber Konventionen bzw. anschauungsabhängig.</li>

<li>Diejenigen reellwertigen <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1cacd5f7bbe1027cc75fbe2fbd9cb5e79485302.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }" loading="lazy">, die zweimal <a href="Differenzierbar" class="mw-redirect" title="Differenzierbar">differenzierbar</a> sind und für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9c6d458566aec47a7259762034790c8981aefab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)+f''(x)=0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)+f''(x)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16a288f4a58c8d138f2732bf04636fe4921aa52d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.116ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(x)+f''(x)=0}" loading="lazy"> erfüllen, bilden einen reellen Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> der Dimension zwei. Eine mögliche Basis wird von der <a href="Sinus" class="mw-redirect" title="Sinus">Sinus</a>- sowie der <a href="Kosinus" class="mw-redirect" title="Kosinus">Cosinus</a>-Funktion gebildet. Diese Basis zu wählen, mag zwar naheliegen, sie ist jedoch nicht besonders vor anderen Auswahlen ausgezeichnet.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Standardbasis_in_den_Standardräumen">Standardbasis in den Standardräumen</h2></div>

Die meist als erstes eingeführten Vektorräume sind die <a href="Standardraum" class="mw-redirect" title="Standardraum">Standardräume</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }" loading="lazy">.

Elemente des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> sind alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-<a href="Tupel" title="Tupel">Tupel</a> <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reeller</a> Zahlen.

Man kann unter allen Basen des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> diejenige auszeichnen, bezüglich der die Koordinaten eines Vektors genau mit seinen Tupel-Komponenten übereinstimmen. Diese Basis besteht also aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c60c38b7e2450d62e9dc496b89f8e5c96c77cecf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.618ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}" loading="lazy"> wobei

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}e_{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0),\\e_{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0),\\&\vdots &\\e_{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1)\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4199b0ab88fe6a9fd275be04c7e6a0393aaa5a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.505ex; width:23.859ex; height:14.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}e_{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0),\\e_{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0),\\&\vdots &\\e_{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1)\end{matrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und wird als die Standardbasis des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> bezeichnet.

Dasselbe gilt für den Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d63366b3d00300e06eee81786182062b98775c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.312ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle K^{n}}" loading="lazy"> über einem beliebigen <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">, das heißt auch hier gibt es die Standard-Basisvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0),\ldots ,e_{n}=(0,\ldots ,0,1)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0),\ldots ,e_{n}=(0,\ldots ,0,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30c01e3f9c9b6960f167680707387d20f3d43661.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.832ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0),\ldots ,e_{n}=(0,\ldots ,0,1)}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

Die Standardbasis des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy"> besteht aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{1}=(1,0)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{1}=(1,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c0498b5be0f2dccb99fc0685772150538b77fcf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.404ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle e_{1}=(1,0)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{2}=(0,1)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{2}=(0,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7cac36162fa61f88374e595a45b2af71ccbb58a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.404ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle e_{2}=(0,1)}" loading="lazy">. Die beiden oben als Beispiel aufgeführten Vektorräume sind zwar <a href="Isomorph" class="mw-redirect" title="Isomorph">isomorph</a> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy">, besitzen jedoch keine Standardbasis. Infolgedessen ist auch unter den Isomorphismen zwischen diesen Räumen und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy"> keiner ausgezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bezeichnung">Bezeichnung</h3></div>

Die Bezeichnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de82719660b9c03b6b5ca5301819124e08cc91fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.067ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots }" loading="lazy"> für die Standard-Basisvektoren ist weit verbreitet.

Die drei Standard-Basisvektoren des dreidimensionalen Vektorraums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"> werden in den angewandten Naturwissenschaften jedoch manchmal mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} }">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9fb37a805bb777a383967fb24db6ca2a80e1e7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.812ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} }" loading="lazy"> bezeichnet:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {i} =e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {j} =e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {k} =e_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f67408224ea51ad6b14b0165b252f00d286782e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:52.629ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {i} =e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {j} =e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {k} =e_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Weitere_Eigenschaften">Weitere Eigenschaften</h3></div>

Der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> hat über die Vektorraum-Eigenschaft hinaus noch weitere Eigenschaften. Auch hinsichtlich dieser erfüllen die Standard-Basisvektoren oft besondere Bedingungen. So ist die Standardbasis eine <a href="Orthonormalbasis" title="Orthonormalbasis">Orthonormalbasis</a> bezüglich des <a href="Standardskalarprodukt" title="Standardskalarprodukt">Standardskalarprodukts</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Standardbasis_im_Matrizenraum">Standardbasis im Matrizenraum</h2></div>

Auch die Menge der <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrizen</a> über einem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{m\times n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{m\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a40b12a6c68466431891e4ad965fe811743d714.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.034ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle K^{m\times n}}" loading="lazy"> bildet mit der <a href="Matrizenaddition" title="Matrizenaddition">Matrizenaddition</a> und der <a href="Skalarmultiplikation" title="Skalarmultiplikation">Skalarmultiplikation</a> einen Vektorraum. Die Standardbasis in diesem <a href="Matrizenraum" title="Matrizenraum">Matrizenraum</a> wird durch die <a href="Standardmatrix" title="Standardmatrix">Standardmatrizen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acbcb625c128efafee881204113cd9e7a8a293a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.192ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{ij}}" loading="lazy"> gebildet, bei denen genau ein Eintrag gleich eins und alle anderen Einträge gleich null sind. Beispielsweise bilden die vier Matrizen

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},E_{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},E_{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},E_{22}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ca2febdf3cbccbde808fda164c7ae01e0e0bf22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:65.142ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle E_{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},E_{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},E_{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},E_{22}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

die Standardbasis des Raums der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2\times 2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2\times 2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd967d734835dc2bf4d3f1b10707f0052a78a650.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.975ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (2\times 2)}" loading="lazy">-Matrizen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Standardbasis_in_unendlichdimensionalen_Räumen">Standardbasis in unendlichdimensionalen Räumen</h2></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> ein Körper und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> eine beliebige (insb. möglicherweise unendliche) Menge, so bilden die endlichen formalen Linearkombinationen von Elementen aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> einen Vektorraum. Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> selbst Basis dieses Vektorraumes und wird als dessen Standardbasis bezeichnet.

Anstelle formaler Linearkombinationen betrachtet man auch alternativ den Vektorraum derjenigen Abbildungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon M\to K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon M\to K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef155847507feab6778ac3bdc585a1f417a30707.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.435ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon M\to K}" loading="lazy"> mit der Eigenschaft, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf85883d74b75fe35ca8d3f2b44802df078e4fa1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.678ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=0}" loading="lazy"> für <a href="Fast_alle" title="Fast alle">fast alle</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9df57d73e9532bb93a1439890bcddbc2806f5859.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in M}" loading="lazy"> gilt.

Zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\in M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\in M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c5790f9afa538086b9fea356114e77099c1a775.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.323ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m\in M}" loading="lazy"> sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{m}\colon M\to K}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{m}\colon M\to K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a4fc545fbccbf8da35793f4bf3d5e60a8a38ec6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.915ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e_{m}\colon M\to K}" loading="lazy"> die durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{m}(x)={\begin{cases}1,&{\text{falls }}x=m\\0,&{\text{falls }}x\neq m\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7a60a6b9bc30d768656175af126a92cc89398d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:26.756ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle e_{m}(x)={\begin{cases}1,&{\text{falls }}x=m\\0,&{\text{falls }}x\neq m\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

gegebene Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\to K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\to K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6051ee1555b21c9e43c0031239a5873a29354df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.122ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M\to K}" loading="lazy">.

Dann bildet die Familie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e_{m}\}_{m\in M}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e_{m}\}_{m\in M}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e875b0657c4c24d648437be54605111d15aee4c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.582ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{e_{m}\}_{m\in M}}" loading="lazy"> eine Basis des Vektorraums, die in diesem Fall ebenfalls als die Standardbasis bezeichnet wird.

Der Vektorraum aller Abbildungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon M\to K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon M\to K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef155847507feab6778ac3bdc585a1f417a30707.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.435ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon M\to K}" loading="lazy"> besitzt hingegen, sofern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> unendlich ist, keine Standardbasis.

Auch <a href="Polynomring" title="Polynomring">Polynomringe</a> über Körpern sind Vektorräume, in denen eine Basis bereits unmittelbar aufgrund der Konstruktion ausgezeichnet ist. So sind die Elemente des Polynomringes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} [X]}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} [X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16d740527b0b7f949b4bf9c9ce004134bb490b68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.952ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} [X]}" loading="lazy"> definitionsgemäß die endlichen Linearkombinationen der Monome <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9cc5fd8163a83100c5330622e9e317fa4e872403.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.809ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1,}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09ba32eeb405f7f5f2bac1eb12987c47d2fd42df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.627ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X^{2},}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X^{2},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d2913fd82a09205a94045bd269603b2a727b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.698ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle X^{2},}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X^{3}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a2439369260c9d7f7bd4fc81d3e274a00fdb7de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.051ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle X^{3}}" loading="lazy"> usw., die demnach eine Basis – die Standardbasis – von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} [X]}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} [X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16d740527b0b7f949b4bf9c9ce004134bb490b68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.952ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} [X]}" loading="lazy"> bilden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhang_mit_universellen_Eigenschaften">Zusammenhang mit universellen Eigenschaften</h2></div>

Der Begriff kanonisch wird allgemein bei Konstruktionen über eine <a href="Universelle_Eigenschaft" title="Universelle Eigenschaft">universelle Eigenschaft</a> verwendet.

So ergibt sich auch ein Zusammenhang zwischen Standardbasen und folgender Konstruktion:

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> ein Körper und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> eine beliebige Menge.

Gesucht ist ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> zusammen mit einer Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon M\to U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon M\to U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe8bbb2f035e1b578a867e807c2f207e41a4b191.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.151ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon M\to U}" loading="lazy"> in dessen zugrunde liegende Menge, so dass zu jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und jeder Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon M\to X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon M\to X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8807ca68ffb8ad0d198f685ed8f878c76d1ae8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.186ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon M\to X}" loading="lazy"> genau eine <a href="Lineare_Abbildung" title="Lineare Abbildung">lineare Abbildung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\colon U\to X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\colon U\to X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44dea317a0012c58bd4842d2ffc9a04cb372b41d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.75ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h\colon U\to X}" loading="lazy"> existiert mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g=h\circ f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=h\circ f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6220c8d95ac75c438e6f3bf335569f45362d20f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.027ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g=h\circ f}" loading="lazy">.

In solch einem Paar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (U,f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (U,f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec4dbdf43357db955dc953fe357a7fc4a8566d96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.904ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (U,f)}" loading="lazy"> wird dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> als kanonische Abbildung oder <a href="Universelle_L%C3%B6sung" class="mw-redirect" title="Universelle Lösung">universelle Lösung</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> bezüglich des <a href="Vergissfunktor" class="mw-redirect" title="Vergissfunktor">Vergissfunktors</a>, der jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-Vektorraum die zugrundeliegende Menge zuordnet, bezeichnet.

Die oben angegebenen Vektorräume mit Standardbasis haben genau diese universelle Eigenschaft. Das Bild von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> unter der kanonischen Abbildung sind genau die Vektoren der kanonischen Basis bzw. die kanonische Abbildung als Familie aufgefasst ist die kanonische Basis.

Daraus, dass stets eine solche universelle Lösung existiert, folgt bereits, dass eine Abbildung, die jeder Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> eine solche universelle Lösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> und jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> ein solches <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> zuordnet, ein <a href="Funktor_(Mathematik)" title="Funktor (Mathematik)">Funktor</a> ist, der <a href="Linksadjungiert" class="mw-redirect" title="Linksadjungiert">linksadjungiert</a> zum Vergissfunktor ist. Ein solcher Funktor heißt freier Funktor.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Kowalsky und Michler: Lineare Algebra, Gruyter, ISBN 978-3-11-017963-7</li>

<li>Albrecht Beutelspacher: „Das ist o.B.d.A. trivial!“ 9. aktualisierte Auflage, Vieweg + Teubner, Braunschweig und Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0771-7, s. v. „Kanonisch“</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>